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Résolution d'une équation

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît comme exposant.

Généralement on résout les équations exponentielles simples en appliquant les lois des exposants.

Pour les équations plus complexes, on recourt aux propriétés des logarithmes (réf. leçon 17).

Dans l'équation exponentielle
y = a^x où a > 0 et a 1,
a s'appelle la base de l'exposant et la puissance x porte le nom de logarithme dans la base a

Lois des exposants

Loi 1   a^m X aⁿ = a^{m + n}

Exemple

a³ X a² = a³⁺² = a⁵

Loi 2   (a^m)ⁿ = a^mXn

Exemple

(a³)² = a^3X2 = a⁶

Loi 3    = a^m-n si m > n et a 0

Exemple

= a^5-3 = a²

Loi 4    = si m < n et a 0

Exemple

= =

Loi 5   (a X b)^m = a^m X b^m

Exemple

(a X b)³ = a³ X b³

Loi 6   ()^m = et b 0

Exemple

()² =

Exemple 1

Résoudre l'équation 5^2x = 25

Solution

Il s'agit de ramener les deux membres de l'équation à une forme exponentielle de même base.

Ainsi, 5^2x = 5² et 2x = 2
Donc x = 1

Exemple 2

Résoudre 8^x-1 =

Solution

(2³)^x-1 = 1/2²
(2³)^x-1 = 2^-2
2^3(x-1) = 2^-2
3(x-1) = -2
x = 1/3

Avant de passer aux questions, assurez-vous d'avoir un crayon et du papier.


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