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Résolution d'une équation

La réciproque d'une fonction exponentielle est une fonction logarithmique.

Si y = log_b x,
alors x = b^y où b > 0 et b 1

Par exemple 3 = log₂ 8
si et seulement si 8 = 2³

Propriétés des logarithmes

P1   log_b M X N = log_b M + log_b N

P2   log_b (M/N) = log_b M - log_b N

P3   log_b M^p = p X log_b M

P4   log_b 1 = 0

P5   log_b b = 1

P6   log_b b^x = x

N. B. Par convention, log x désigne le log₁₀ x et
ln x désigne le logarithme naturel de x.

Exemple 1

Résoudre x = log₃ 27

Une première méthode nous permet de résoudre l'équation logarithmique en l'exprimant sous une forme exponentielle.

Alors x = log₃ 27

si et seulement si 3^x = 27

si 3^x = 3³

x = 3

Exemple 2

Résoudre x = log₃ 27

Une autre façon de résoudre consiste à appliquer, lorsque c'est possible, les propriétés des logarithmes.

Alors x = log₃ 27

x = log₃ 3³

x = 3 X log₃ 3 par P3

x = 3 X 1 par P5

x = 3

Exemple 3

Résoudre x = log₂ (1/16)

Solution

En exprimant sous forme exponentielle,

2^x = 1/16

2^x = 1/2⁴

2^x = 2^-4

x = -4

Exemple 4

Résoudre 3^2x = 5 X 4^x

Dans cet exemple, la méthode utilisée à la leçon 16 ne peut s'appliquer, puisqu'il est impossible de ramener les deux membres de l'équation à une même base.

Alors, si l'on prend le logarithme de chaque côté de l'équation,

3^2x = 5 X 4^x

log 3 ^2x = log 5 X 4^x

log 3 ^2x = log 5 + log 4^x par P1

2x X log 3 = log 5 + x X log 4 par P3

2x X log 3 - x X log 4 = log 5
x(2 X log 3 - log 4) = log 5

x =

= 1,985

Avant de passer aux questions, assurez-vous d'avoir en votre possession un crayon, du papier et une calculette.


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